Bilangan Prima dan Bilangan Berpangkat
Bilangan
prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1,yang memiliki 2 buah
faktor pembagi,yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. 13, 13 disebut bilangan prima
karena hanya memliki 2 buah faktor pembagi yaitu 1 dan 13. Bilangan prima
terkecil adalah 2. 2 merupakan satu-satunya bilangan genap yang termasuk
anggota bilangan prima,selain itu semua bilangan prima merupakan bilangan
ganjil. Contoh yang merupakan bilangan prima : 2,3,5,7,11,13,17,23,29....
Salah
satu cara untuk menentukan bilangan prima adalah dengan menggunakan saringan
Eratosthenes. Jika semua bilangan asli >1 ditempatkan pada suatu “saringan”maka
bilangan yang bukan bilangan prima diberi tanda silang (artinya jatuh dari
lubang saringan). Bilangan –bilangan yang tersisa tersebut merupakan anggota
himpunan bilangan prima
Langkah-langkah untuk melakukan
proses penyaringan bilangan prima
a.
Silanglah
bilangan 1,karena bukan bilangan prima
b.
Silanglan
semua bilangan kelipatan 2,kecuali bilangan 2 ( karena 2 merupakan bilangan
prima )
c.
Silanglah
semua bilangan kelipatan 3 ,kecuali bilangan 3 (karena 3 merupakan bilangan
prima)
d.
Silanglah
semua bilangan keliapatan 5,kecuali bilangan 5 (karena 5 merupakan bilangan prima)
e.
Silanglah
semua bilangan kelipatan 7,kecuali bilangan 7 (karena 7 merupakan bilangan
prima)
f.
Dari
proses penyaringan tersebut di dapat
himpunan bilangan prima antara 1-100 yaitu P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
|
51
|
52
|
53
|
54
|
55
|
56
|
57
|
58
|
59
|
60
|
|
61
|
62
|
63
|
64
|
65
|
66
|
67
|
68
|
69
|
70
|
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
77
|
78
|
79
|
80
|
|
81
|
82
|
83
|
84
|
85
|
86
|
87
|
88
|
89
|
90
|
|
91
|
92
|
93
|
94
|
95
|
96
|
97
|
98
|
99
|
100
|
Dari gambardiatas diketahi bahwa
semua blangan kecuali bilangan 1 yang dberi tanda silang tidak termasuk anggota
bilangan prima karen bilangan bilangan tersebut memiliki faktor lain selain 1
dan bilangan itu sendiri. Bilangan – bilangan tersebut termasuk anggota
himpunan bilangan komposit.sebarang bilangan bulat positif yang mempunyai
faktor positf selain bilangan 1 dan dan bilangan itu sendiri disebut bilangan
komposit. Misalnya 24,24 disebut bilangan komposit karena memiliki faktor
positif selain 1 dan 24 yaitu 2,3,4,6,8,12. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan
prima ataupun bilangan komposit.karena hanya memiliki satu faktor yaitu 1.
Dengan demikian 0 tidak termasuk bilangan prima ataupun bilangan komposit.
Faktorisasi
prima adalah suatu faktorisasi yang memuat hanya bilangan –bilangan prima.
Untuk menentukan suatu faktorisasi prima
dari bilangan komposit yang
diberikan,pertama-tama kita tulis kembali bilangan itu sebagai suatu hasil kali
dua bilangan – bilangan yang lebih kecil sampai seluruh faktor-faktor adalah bilangan
prima.
Contoh : dengan menggunakan pembagi
bilangan komposit
Gambar 1
260
26 10
21 3 2 5
Cara kedua :dengan menggunkaan
bilangan prima pembaguntuk fktor 260 ditampilkan pada gambar 2. Dua
pohon faktor ini menghasilkan faktorisasi prima yang sama.
Gambar
2
260 5 52 2 26 2 13
Ada beberapa sifat dalam bilangan prima;
1.
sifat
1
setiap bilangan
komposit dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima dalam satu
dan hanya satu cara. Sifat 1 ini dikenal pula sebagai teorema dasar aritmatika.
Teorema ini untuk menemukan faktorisasi prima dari suatu bilangan. Sebaga
contoh perhatikan bilangan 260kita mulai dari bilangan prima terkecil, 2, dan
kita periksa apakah 2 adalah pembagi itu,jika tidak maka kita coba dengan
bilangan prima yang lebih besar berikutnya dan perikserbagiannya oleh keterbagiannya oleh bilangan prima ini.
Bilangan-bilangan
prima didalam faktorisasi prima suatu bilangan disajikan dalam daftar dengan
urutan naik dari kiri ke kanan dan jika suatu bilangan prima muncul dalam suatu
hasil kali lebih dari satu kali maka digunakan notasi pangkat. Dengan demikian
faktorisasi prima dari 260 dituls sebagai 2².5.3
2 260 2 130 5 65 13 13 1
2.
sifat 2
Jika faktorisasi prima suatu bilangan n adalah n = p
3.
sifat
3
misalkan d≠0 dan n ≠0. Jika d adalah faktor dari n maka n/d adalah
faktor dari n
4.
jika
n adalah suatu bilangan komposit maka n mempunyai suatu faktor prima p
sedemikian sehingga p²≤n
5.
jika
n adalah suatu bilangan bulat lebih besar dari 1 dan tidak dapat dibagi oleh
sebarang bilangan prima p maka n adalah bilangan prima
Bilangan Berpangkat
Bilangan bilangan cacah a,m dan n dengan a ≠0 berlaku
1.
=a.a.a.a...(sebanyak
m faktor )
2.
.
=
3.
/
=
,di mana a
0.
4.
=1/
,di mana a ≠0.
5.
= 1,di mana a
≠0
6.
(
)
=
7.
(a/b)
=
.
,dimana b ≠ 0
8.
(ab)
=
.
9.
(a/b)
=(b/a)
,di mana a ≠0
dan b ≠ 0.
Sifat
maka
=1,dengan
demikian ,
adalah invers
kali dari
dan
akibatnya
Perhatikan apakah
dapat diperluas
untuk semua pangkat dari a dimana pangkatnyaadalah bilangan bulat. Sebagai
contoh apakah benar
=
? Definisi
dan sifat-sifat pangkat negatif menjamin bahwa
hal ini benar sebagaimana tampak dari yang berikut ini :
)(1/
)=
Begitu juga dengan
,benar karena
)(1/
)=1
.
Sifat pangkat bilangan bulat:
1.
Untuk
sebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n
,berlaku
2.
Untuk
sebarang bilangan rasional tak a nol dan untuk sebarang bilangan bulat m dan n
,berlaku
3.
Untuk
sebarang bilangan bulat rasional a tak dan sebarang bilangan bulat m dan n berlaku
4.
Untuk
sebarang bilangan rasional a/b tak nol dan sebarang bilangan bulat m,berlaku
